В большинстве физических линейных систем при заданном воздействии на входе, существует только один режим движения. Например, для линейной системы масса – пружина – демпфер инвестиции в золото это будет затухающее движение, в результате которого масса приходит в состояние покоя. У такой системы всего лишь один аттрактор, а именно точка равновесия.

• Для сравнения на Рис.
• Это сильно контрастирует с идеальным краткосрочным предсказуемым результатом, который гарантируется определенностью природы уравнения (1.1).
• Здесь необходимое свойство непрерывностии предполагает гарантию существования и единственности решения при любых начальных условиях и для всех .
• Уравнение имеет аналитическое и численное решения.
• Адиабатические инварианты.

Свойства линеаризованных систем. Устойчивость пространственно-периодических решений. Обыкновенные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. Исследование краевой задачи для уравнения Кана-Хиллерта.

Элементы Структурной Кристаллографии

В статье приводится визуализация решений первой краевой задачи для консервативного автономного уравнения Дуффинга методом нахождение решения в виде ряда, методами стрельбы и квазилинеаризации. На основе полученных результатов делается вывод о найденных приближенных аналитических решениях.

В частности, Плиссу принадлежит доказательство необходимости условия гипотезы С. Смейла о грубости для двумерной периодической по времени системы . Говоря об исследовании других неавтономных дифференциальных уравнений, упомянем работы Л.М. Лермана [21; 78], посвященные вопросам классификации решений некоторых классов неавтономных потоков. Также существует много работ, посвященных исследованию свойств решений конкретных уравнений, в правые части которых явно входит независимая переменная. Отметим, например, работы И.В.

Энергия системы связанных осцилляторов, разложение по нормальным модам. Диссипативная функция. Адиабатические инварианты. Адиабатически медленный процесс. Адиабатический инвариант пружинного маятника.

Зависимость Амплитуды От Частоты

Асташо-вой [1; 2; 49], посвященные изучению свойств решений обобщенного уравнения Эмдена-Фаулера. В работе изучаются возможности прогнозирования потери устойчивости тонких цилиндрических оболочек неразрушающими методами на стадии эксплуатации. Исследуются пологие оболочки, изготовленные из высокопрочных материалов. Для таких конструктивных решений характерны перемещения поверхностей, скальпинг превосходящие толщины элементов. В рассматриваемых оболочках могут генерироваться релаксационные колебания значительной амплитуды даже при сравнительно невысоком уровне внутренних напряжений. Произведено упрощенное механико-математическое моделирование задачи о колебаниях цилиндрической оболочки, сводящее проблему к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Когда говорят, что решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений получено с абсолютной погрешностью то подразумевают, что все компоненты решения имеют абсолютную погрешность, не превышающую . Дважды асимптотическая точка называется гомоклиничной, еслии ветки на которых она лежит, исходят из одной точки или из двух точек принадлежащих одной периодической группе. Гомоклиничная точка принадлежит простому типу. Дважды асимптотическая точка называются гетероклиничной, если и ветки, на которых она лежит, исходят из двух периодических точек, принадлежащих разным периодическим группам. Когда отображение не имеет ни дважды асимптотических точек специального типа, ни неподвижных или периодических точек кратного типа, отображение называется принадлежащим общему аналитичному случаю. где , называется положительной полупоследовательностью или полуорбитой из . Точка накопления на положительной полуорбите (2.3) из называется предельной точкой и набор таких точек называется предельным множеством из .

Колебания В Системах С Распределенными Параметрами

Аналитическое решение уравнения известно, поэтому его удобно использовать для оценки эффективности численных методов решения дифференциальных уравнений. Показано, что свойства методов при повышении жесткости изменяются по сравнению с частным случаем – уравнением гармонического осциллятора.

, при которых существует приближенное решение , нет точного решения , а при тех значениях параметров, при которых есть точное решение, не существует приближенного. Кроме того, вид решения квазигармонический, т.к. основной вклад дает первая гармоника на основной частоте и амплитуды других слагаемых с двойной и тройной комбинационными уравнение дуффинга частотами существенно меньше, а вид решения может быть как квазигармоническим, так и кноидальным. Эта идея служит основой физического моделирования. Если критерии подобия для системы и модели совпадают, то должны соответствовать и детали динамики. Параметры порядка и подчинённые переменные. Диссипативные структуры.

], однако в этом случае количественной оценки свойств используемых численных методов получить не удается. Для одномерной системы координат, в которой находится тело массы m,, функция Лагранжа (“лагранжиан”)) имеет вид . Если есть начальные условия, инвестиции в золото то ими можно воспользоваться и кое-что упростится. Вычисление амплитуды больших и малых колебаний для рассмотренного выше примера, выполненное по формулам и , приводит соответственно к результатам 7.202 и -0.581, что говорит о хорошем совпадении.

Если мы рассмотрим все и ветки неподвижных или периодических точек для всех порядков в плоскости , то мы увидим, что и ветки не могут пересекать другие и ветки. Однако, ветка может пересекать ветку, и точки пересечения в таком случае называются дважды асимптотическими точками.

Д А. Паршин Физика Открытых Систем Лекция 2

Мы рассмотрели математическое описание поведения идеальной динамической системы которая полностью определена, вмешательство каких-либо шумов исключено, и система описана с абсолютной точностью. В общем аналитичном случае, произвольно малая окрестность гомоклиничной точки содержит гомоклиничную точку простого типа. После неподвижных и периодических точек, следующий простейший тип минимального множества это инвариантная замкнутая кривая в стробоскопическом исследовании (сечении Пуанкаре).

С помощью численного решения в зависимости от различных значений управляющих параметров были построены осциллограммы и фазовые траектории. Круг вопросов, исследуемых в настоящей работе, относится к качественной теории неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений, основания которой заложены А. Исторически первыми рассматривались системы с периодической зависимостью от времени. Так, в своей классической монографии Пуанкаре исследует вопросы, связанные с существованием периодических решений у таких систем. Там же Пуанкаре рассматривает системы, близкие к интегрируемым, и применяет для их исследования “метод малого параметра”. Кроме того, в монографии также рассматриваются линейные системы с периодическими по времени коэффициентами.

Резонансные полосы. Теория эредитарных процессов получила широкое развитие в последние десятилетия, о чем свидетельствует множество работ как зарубежных , так и отечественных авторов . Учайкина эредитарным процессам посвящена целая глава. Эредитарные процессы – процессы, обладающие эффектами памяти. Например, в эредитарной системе эффект памяти означает, что текущее состояние системы зависит от ее предыдущих состояний. Поэтому такие процессы описываются с помощью интегро-дифференциальных уравнений, в которых содержатся функции памяти.

Фрактальные множества, фракталы. Функция Вейерштрасса. Канторовы множества, построение, мера, самоподобие. Масштабная инвариантность или скейлинг. Канторова (или “дьявольская”) лестница. Кривые Коха, остров Коха.

Положительная и отрицательная обратные связи. Стохастические колебания. Странный аттрактор. Объектом нашего исследования будут являться эредитарные нелинейные осцилляторы, которые описываются с помощью производных дробных переменных порядков, входящих в модельные уравнения. Такой интерес вызван их многочисленными приложениями . Далее с помощью теории конечно-разностных схем найдем их численные решения.

При создании модели существенно использованы исследования многих авторов по изучению геометрии поверхности, образующейся после потери устойчивости. Нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение колеблющейся оболочки совпадает с хорошо изученным уравнением Дуффинга. Важно, что для тонких оболочек в уравнении Дуффинга появляется малый параметр перед второй производной по времени. Последнее обстоятельство дает возможность провести детальный анализ выведенного уравнения и описать релаксационные колебания — физическое явление, присущее только тонким высокопрочным оболочкам. В неконсервативных системах модель линейного гармонического осциллятора не применима. Для этого в теоретической механике предлагается модифицировать уравнение введением диссипативной функции F в виде .

Аттрактор имеет вид двойной капли. где – управляющий параметр, – частота, а – амплитуда внешнего воздействия, – параметр фазовой нелинейности, определяющий не изохронность колебаний. Заметим, в уравнении присутствуют нелинейности характерные для осцилляторов Ван дер Поля и Дуффинга .

Законы сохранения для уравнения Кортевега-де Фриса. Другие нелинейные уравнения. 4 видны две потенциальные ямы, в которых груз начинает прилипать вследствие адгезии поверхности, далее виден срыв груза в результате груз начинает скользить, испытывая колебания. Математическое моделирование нелокальной колебательной системы Дуффинга с фрактальным трением // Вестник КРАУНЦ.

Заметим, что в этот период удвоения бифуркационная дуга проходит сверху и вокруг правой стороны заштрихованной области. Как было показано выше, многочисленные аттракторы являются общими для системы , и действительно, регулярные и хаотические аттракторы могут сосуществовать, например, для случаев () и (). Можно поставить в соответствие каждому аттрактору множество всех начальных точек, которые приводят к нему; это множество точек называется областью притяжения аттрактора (область стока аттрактора). Такие области отделены ветками нескольких седловых точек в плоскости , и всё вместе – области притяжения всех аттракторов и то, что их отделяет (границы областей), составляют полную плоскость . Заметим, тем не менее, что стробированные точки симметрично связанных траекторий могут возникнуть, если только одна точка из пары стробирована с фазой смещения на . Положительность дампинга подразумевает в отсутствие точек-источников и инвариантных замкнутых кривых, представляющих большинство периодических движений (более подробно об этом можно узнать из специализированной литературы).

Заметим, что для более наглядной иллюстрации, фазовая плоскость при немного сдвинута от позиции фазовой плоскости при , это сделано для того, чтобы конечный образ (или ) можно было отличить на рисунке от начального образа. В обоих случаях круглая точка () обозначает расширение ветки, а квадратная точка () – сжатие ветки. В данном случае с наблюдается один полный поворот в течение периода , в случае с наблюдается полуповорот за период. Это только простейший случай; в общем случае может сделать целое число поворотов в течение одного периода, и может сделать полуцелое число поворотов. Показан только локальный линейный участок и веток, большие участки будут представлены кривой линией из-за нелинейности. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами.

В отличие от линейного осциллятора, осциллятор Дуффинга под действием внешней периодической силы испытывает бистабильное поведение. Данная область представляет интерес для исследования, т.к. в ней происходит смена режима движения от периодического к хаотическому.

Управляющие параметры, пространство управления. Функции многих переменных. 2 видно, что осциллограмма (рис. 2, а) и фазовая траектория (рис. 2, б) похожи на осциллограмму (рис. 1, а) и фазовую траекторию (рис. 1, б) для эредитарного осциллятора Дуффинга. Поэтому можно сделать вывод о том, что введение производных с переменными дробными порядками в исходное уравнение осциллятора дает возможность получить колебательные режимы присущие другим осцилляторам. 1 мы можем увидеть, что амплитуда колебаний (рис. 1, а) имеет установившийся характер. Также можно заметить некоторое раздвоение колебаний на минимумах и максимумах, что на фазовой траектории (рис. 1, б) соответствует симметричным петлям. Фазовая траектория (рис. 1, б) выходит на предельный цикл, так, как колебания, не затухающие с установившейся амплитудой.